L'intersection de deux droites est la troisième interne. Signes de parallélisme de deux lignes. Propriétés des lignes parallèles. Moyens pratiques de construire des lignes parallèles

Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont dans le prolongement des côtés de l’autre.

Les coins sur la photo 1 Et 3 , ainsi que les angles 2 Et 4 - verticale. Coin 2 est adjacent à la fois au coin 1 , et avec l'angle 3. Par la propriété des angles adjacents 1 +2 =180 0 et 3 +2 =180 0 . De là, nous obtenons : 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Ainsi, les degrés mesures des angles 1 Et 3 sont égaux. Il s’ensuit que les angles eux-mêmes sont égaux. Les angles verticaux sont donc égaux.

2. Signes d'égalité des triangles.

Si deux côtés et l’angle qu’ils forment d’un triangle sont respectivement égaux à deux côtés et l’angle qu’ils forment d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Si un côté et deux angles adjacents d’un triangle sont respectivement égaux à un côté et deux angles adjacents d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

3. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

1 signe d'égalité des triangles :

Considérons les triangles ABC et A 1 B 1 C 1, dans lesquels AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, les angles A et A 1 sont égaux. Montrons que ABC=A 1 B 1 C 1.
Puisque (y)A = (y)A 1, alors le triangle ABC peut être superposé au triangle A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A soit aligné avec le sommet A1 et que les côtés AB et AC soient respectivement superposés aux rayons A 1 B 1 et A 1 C 1. Puisque AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, alors le côté AB s'alignera avec le côté A 1 B 1 et le côté AC s'alignera avec le côté A 1 C 1 ; en particulier, les points B et B 1, C et C 1 coïncideront. Par conséquent, les côtés BC et B 1 C 1 s'aligneront. Ainsi, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont complètement compatibles, ce qui signifie qu'ils sont égaux. CTD

3. Théorème sur la bissectrice d'un triangle isocèle.

Dans un triangle isocèle, la bissectrice tirée vers la base est la médiane et l'altitude.

Passons à la figure dans laquelle ABC - triangle isocèle de base BC, AD est sa bissectrice.

De l'égalité des triangles ABD et ACD (d'après le 2ème signe d'égalité des triangles : AD - commun ; les angles 1 et 2 sont égaux car AD est une bissectrice ; AB = AC, car le triangle est isocèle) il résulte que ВD = DC et 3 = 4. L'égalité BD = DC signifie que le point D est le milieu du côté BC et donc AD est la médiane du triangle ABC. Puisque les angles 3 et 4 sont adjacents et égaux, ce sont des angles droits. Le segment AO est donc aussi l’altitude du triangle ABC. CTD.

4. Si les lignes sont parallèles -> angle…. (facultatif)

5. Si l'angle…..-> les droites sont parallèles (facultatif)

Si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Que les angles correspondants soient égaux lorsque les lignes a et b coupent la transversale c, par exemple 1=2.

Puisque les angles 2 et 3 sont verticaux, alors 2=3. De ces deux égalités il résulte que 1=3. Mais les angles 1 et 3 sont opposés, donc les droites a et b sont parallèles. CTD.

6. Théorème sur la somme des angles d'un triangle.

La somme des angles d'un triangle est 180 0.

Considérons un triangle arbitraire ABC et montrons que A+B+C=180 0.

Traçons une droite a passant par le sommet B, parallèle au côté AC. Les angles 1 et 4 sont des angles transversaux à l'intersection des droites parallèles a et AC par la sécante AB, et les angles 3 et 5 sont des angles transversaux à l'intersection des mêmes droites parallèles par la sécante BC. Donc (1)4=1 ; 5=3.

Évidemment, la somme des angles 4, 2 et 5 est égale à l'angle droit de sommet B, c'est-à-dire 4+2+5=180 0 . De là, en tenant compte des égalités (1), on obtient : 1+2+3=180 0 ou A+B+C=180 0 .CHT.

7. Signe d'égalité des triangles rectangles.

Géométrie. Nommez 3 signes de lignes parallèles et vous obtiendrez la meilleure réponse

Réponse de Hoster Garenov[débutant]
Si, lorsque 2 droites en coupent une troisième, la somme des angles internes unilatéraux est égale à 180 degrés, alors ces droites sont parallèles.
Si, lorsque deux lignes en coupent une troisième, les angles internes transversaux sont égaux, alors ces lignes sont parallèles.
Si 2 droites sont perpendiculaires à une troisième, alors elles sont parallèles.

Répondre de Pazitea[gourou]
1. Le premier signe de parallélisme.
Si, lorsque deux droites en coupent une troisième, les angles internes transversaux sont égaux, alors ces droites sont parallèles.
2. Le deuxième signe de parallélisme.
Si, lorsque deux droites en coupent une troisième, les angles correspondants sont égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
3. Le troisième signe de parallélisme.
Sachons que lorsque deux droites AB et CD coupent une troisième droite, la somme de tous les angles internes unilatéraux est égale à 2d (ou 180°). Les droites AB et CD seront-elles parallèles dans ce cas (Fig. 192).
Soit /1 et /2 des angles intérieurs unilatéraux et leur somme donne 2d.
Mais / 3 + / 2 = 2d, car les angles sont adjacents. Par conséquent, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.
D'où / 1 = / 3, et ces angles internes sont transversaux. Donc AB || CD.
Si, lorsque deux droites en coupent une troisième, la somme des angles internes unilatéraux est égale à 2d, alors ces deux droites sont parallèles.

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Bonjour! Voici une sélection de sujets avec des réponses à votre question : Géométrie. Nommez 3 signes de lignes parallèles

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CHAPITRE III.
PARALLÈLE DIRECT

§ 35. SIGNES DE DEUX LIGNES PARALLÈLES.

Le théorème selon lequel deux perpendiculaires à une droite sont parallèles (§ 33) donne le signe que deux droites sont parallèles. Il est possible de déduire des signes plus généraux du parallélisme de deux droites.

1. Le premier signe de parallélisme.

Si, lorsque deux droites en coupent une troisième, les angles internes transversaux sont égaux, alors ces droites sont parallèles.

Soient les droites AB et CD coupées par la droite EF et / 1 = / 2. Prenez le point O - le milieu du segment KL de la sécante EF (Fig. 189).

Abaissons la perpendiculaire OM du point O sur la droite AB et continuons-la jusqu'à ce qu'elle coupe la droite CD, AB_|_MN. Montrons que CD_|_MN.
Pour ce faire, considérons deux triangles : MOE et NOK. Ces triangles sont égaux les uns aux autres. En fait: / 1 = / 2 selon les conditions du théorème ; ОK = ОL - par construction ;
/ MOL = / NOK, comme les angles verticaux. Ainsi, le côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et à deux angles adjacents d'un autre triangle ; ainsi, /\ MOL = /\ NOK, et donc
/ OVM = / SAIS, mais / L'OVM est direct, ce qui signifie / KNO est également direct. Ainsi, les droites AB et CD sont perpendiculaires à la même droite MN, donc elles sont parallèles (§ 33), ce qu'il fallait prouver.

Note. L'intersection des droites MO et CD peut être établie en faisant pivoter le triangle MOL autour du point O de 180°.

2. Le deuxième signe de parallélisme.

Voyons si les droites AB et CD sont parallèles si, lorsqu'elles coupent la troisième droite EF, les angles correspondants sont égaux.

Soit certains angles correspondants égaux, par exemple / 3 = / 2 (dessin 190);
/ 3 = / 1, car les angles sont verticaux ; Moyens, / 2 sera égal / 1. Mais les angles 2 et 1 sont des angles intérieurs sécants, et nous savons déjà que si lorsque deux droites coupent la troisième, les angles intérieurs sécants sont égaux, alors ces droites sont parallèles. Donc AB || CD.

Si, lorsque deux droites en coupent une troisième, les angles correspondants sont égaux, alors ces deux droites sont parallèles.

La construction de lignes parallèles à l'aide d'une règle et d'un triangle de dessin est basée sur cette propriété. Cela se fait comme suit.

Attachons le triangle à la règle comme indiqué sur le dessin 191. Nous allons déplacer le triangle de manière à ce qu'un de ses côtés glisse le long de la règle et tracer plusieurs lignes droites le long d'un autre côté du triangle. Ces lignes seront parallèles.

3. Le troisième signe de parallélisme.

Sachons que lorsque deux droites AB et CD coupent une troisième droite, la somme de tous les angles internes unilatéraux est égale à 2 d(ou 180°). Les droites AB et CD seront-elles parallèles dans ce cas (Fig. 192).

Laisser / 1 et / 2 sont des angles intérieurs unilatéraux et totalisent 2 d.
Mais / 3 + / 2 = 2d comme angles adjacents. Ainsi, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

D'ici / 1 = / 3, et ces angles internes sont transversaux. Donc AB || CD.

Si, lorsque deux droites en coupent une troisième, la somme des angles internes unilatéraux est égale à 2 d, alors ces deux droites sont parallèles.

Exercice.

Montrer que les droites sont parallèles :
a) si les angles transversaux externes sont égaux (Fig. 193) ;
b) si la somme des angles externes unilatéraux est égale à 2 d(dessin 194).

Signes de parallélisme de deux lignes

Théorème 1. Si, lorsque deux droites coupent une sécante :

les angles croisés sont égaux, ou

les angles correspondants sont égaux, ou

la somme des angles unilatéraux est de 180°, alors

les lignes sont parallèles(Fig.1).

Preuve. Nous nous limitons à prouver le cas 1.

Soient les lignes sécantes a et b transversales et les angles AB égaux. Par exemple, ∠ 4 = ∠ 6. Montrons que a || b.

Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles. Ensuite, ils se coupent en un point M et, par conséquent, l'un des angles 4 ou 6 sera l'angle externe du triangle ABM. Pour plus de précision, soit ∠ 4 l'angle externe du triangle ABM, et ∠ 6 l'angle interne. Du théorème sur l'angle externe d'un triangle, il s'ensuit que ∠ 4 est supérieur à ∠ 6, et cela contredit la condition, ce qui signifie que les droites a et 6 ne peuvent pas se couper, elles sont donc parallèles.

Corollaire 1. Deux droites différentes dans un plan perpendiculaire à la même droite sont parallèles(Fig.2).

Commentaire. La façon dont nous venons de prouver le cas 1 du théorème 1 est appelée méthode de preuve par contradiction ou réduction à l’absurdité. Cette méthode tire son premier nom du fait qu'au début de l'argumentation, une hypothèse est formulée qui est contraire (opposée) à ce qui doit être prouvé. Cela s'appelle conduire à l'absurdité car, en raisonnant sur la base de l'hypothèse formulée, nous arrivons à une conclusion absurde (à l'absurde). Recevoir une telle conclusion nous oblige à rejeter l’hypothèse formulée au départ et à accepter celle qui devait être prouvée.

Tâche 1. Construire une droite passant par un point M donné et parallèle à une droite donnée a, ne passant pas par le point M.

Solution. On trace une droite p passant par le point M perpendiculaire à la droite a (Fig. 3).

Ensuite, nous traçons une ligne b passant par le point M perpendiculaire à la ligne p. La droite b est parallèle à la droite a selon le corollaire du théorème 1.

Une conclusion importante découle du problème considéré :
par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, il est toujours possible de tracer une droite parallèle à celle donnée.

La propriété principale des lignes parallèles est la suivante.

Axiome des droites parallèles. Par un point donné qui ne se trouve pas sur une droite donnée, passe une seule droite parallèle à celle donnée.

Considérons quelques propriétés des droites parallèles qui découlent de cet axiome.

1) Si une ligne coupe l'une des deux lignes parallèles, alors elle coupe également l'autre (Fig. 4).

2) Si deux droites différentes sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles (Fig. 5).

Le théorème suivant est également vrai.

Théorème 2. Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors :

les angles transversaux sont égaux ;

les angles correspondants sont égaux ;

la somme des angles unilatéraux est de 180°.

Corollaire 2. Si une droite est perpendiculaire à l’une des deux droites parallèles, alors elle est également perpendiculaire à l’autre(voir fig. 2).

Commentaire. Le théorème 2 est appelé l'inverse du théorème 1. La conclusion du théorème 1 est la condition du théorème 2. Et la condition du théorème 1 est la conclusion du théorème 2. Tous les théorèmes n'ont pas d'inverse, c'est-à-dire si un théorème donné est vrai, alors le théorème inverse peut être faux.

Expliquons cela en utilisant l'exemple du théorème des angles verticaux. Ce théorème peut être formulé ainsi : si deux angles sont verticaux, alors ils sont égaux. Le théorème inverse serait : si deux angles sont égaux, alors ils sont verticaux. Et ceci, bien entendu, n’est pas vrai. Il n’est pas nécessaire que deux angles égaux soient verticaux.

Exemple 1. Deux lignes parallèles sont traversées par une troisième. On sait que la différence entre deux angles internes unilatéraux est de 30°. Trouvez ces angles.

Solution. Laissez la figure 6 remplir la condition.

AB Et AVECD traversé par la troisième ligne droite MN, alors les angles formés dans ce cas reçoivent les noms suivants par paires :

angles correspondants: 1 et 5, 4 et 8, 2 et 6, 3 et 7 ;

angles transversaux internes: 3 et 5, 4 et 6 ;

angles transversaux externes: 1 et 7, 2 et 8;

coins internes unilatéraux: 3 et 6, 4 et 5 ;

coins extérieurs unilatéraux: 1 et 8, 2 et 7.

Donc, ∠ 2 = ∠ 4 et ∠ 8 = ∠ 6, mais d'après ce qui a été prouvé, ∠ 4 = ∠ 6.

Par conséquent, ∠ 2 =∠ 8.

3. Angles correspondants 2 et 6 sont identiques, puisque ∠ 2 = ∠ 4, et ∠ 4 = ∠ 6. Assurons-nous également que les autres angles correspondants sont égaux.

4. Somme coins internes unilatéraux 3 et 6 seront 2d car la somme coins adjacents 3 et 4 est égal à 2d = 180 0, et ∠ 4 peut être remplacé par l'identique ∠ 6. On s'assure également que somme des angles 4 et 5 sont égaux à 2d.

5. Somme coins extérieurs unilatéraux sera 2d car ces angles sont égaux respectivement coins internes unilatéraux comme des coins verticale.

De la justification prouvée ci-dessus, nous obtenons théorèmes inverses.

Quand, à l’intersection de deux droites avec une troisième droite arbitraire, on obtient que :

1. Les angles transversaux internes sont les mêmes ;

ou 2. Les angles transversaux externes sont identiques ;

ou 3. Les angles correspondants sont égaux ;

ou 4. La somme des angles internes unilatéraux est 2d = 180 0 ;

ou 5. La somme des unilatéraux externes est 2d = 180 0 ,

alors les deux premières droites sont parallèles.