Nájdite objem zakriveného lichobežníka online kalkulačky. Ako vypočítať plochu rovinného útvaru pomocou dvojitého integrálu? Objem rotačného telesa
Začneme uvažovať o samotnom procese výpočtu dvojitého integrálu a oboznámime sa s jeho geometrickým významom.
Dvojitý integrál sa číselne rovná ploche rovinného útvaru (oblasť integrácie). Ide o najjednoduchšiu formu dvojitého integrálu, keď sa funkcia dvoch premenných rovná jednej: .
Najprv sa pozrime na problém vo všeobecnej forme. Teraz budete celkom prekvapení, aké jednoduché je v skutočnosti všetko! Vypočítajme plochu plochej postavy ohraničenú čiarami. Pre istotu predpokladáme, že na segmente . Plocha tohto obrázku sa číselne rovná:
Znázornime oblasť na výkrese:
Vyberme si prvý spôsob prechodu oblasti:
Takto:
A hneď dôležitá technická technika: iterované integrály možno vypočítať samostatne. Najprv vnútorný integrál, potom vonkajší integrál. Vrelo odporúčam túto metódu začiatočníkom v tejto oblasti.
1) Vypočítajme vnútorný integrál a integrácia sa vykoná nad premennou „y“:
Neurčitý integrál je tu najjednoduchší a potom sa používa banálny Newton-Leibnizov vzorec, len s tým rozdielom, že limitmi integrácie nie sú čísla, ale funkcie. Najprv sme dosadili hornú hranicu do „y“ (antiderivačná funkcia), potom dolnú hranicu
2) Výsledok získaný v prvom odseku musí byť dosadený do externého integrálu:
Kompaktnejšia reprezentácia celého riešenia vyzerá takto:
Výsledný vzorec je presne pracovným vzorcom na výpočet plochy rovinného útvaru pomocou „obyčajného“ určitého integrálu! Pozrite si lekciu Výpočet oblasti pomocou určitého integrálu, tam je na každom kroku!
teda problém výpočtu plochy pomocou dvojitého integrálu nie veľmi odlišné z problému nájdenia oblasti pomocou určitého integrálu! V skutočnosti je to to isté!
Preto by nemali vzniknúť žiadne ťažkosti! Nebudem sa pozerať na veľa príkladov, pretože v skutočnosti ste sa s touto úlohou opakovane stretli.
Príklad 9
Riešenie: Znázornime oblasť na výkrese:
Zvoľme nasledovné poradie prechodu oblasti:
Tu a ďalej sa nebudem zaoberať tým, ako prechádzať oblasťou, pretože veľmi podrobné vysvetlenia boli uvedené v prvom odseku.
Takto:
Ako som už poznamenal, pre začiatočníkov je lepšie počítať iterované integrály samostatne a ja sa budem držať rovnakej metódy:
1) Najprv sa pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca zaoberáme vnútorným integrálom:
2) Výsledok získaný v prvom kroku sa dosadí do externého integrálu:
Bod 2 je vlastne nájdenie plochy rovinného útvaru pomocou určitého integrálu.
odpoveď:
Toto je taká hlúpa a naivná úloha.
Zaujímavý príklad nezávislého riešenia:
Príklad 10
Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného priamkami , ,
Približný príklad konečného riešenia na konci hodiny.
V príkladoch 9-10 je oveľa výhodnejšie použiť prvý spôsob prechodu oblasti, zvedaví čitatelia si mimochodom môžu zmeniť poradie prechodu a vypočítať plochy pomocou druhého spôsobu. Ak neurobíte chybu, potom, prirodzene, dostanete rovnaké hodnoty plochy.
V niektorých prípadoch je však efektívnejší druhý spôsob prechádzania oblasťou a na konci kurzu mladého hlupáka sa pozrime na niekoľko ďalších príkladov na túto tému:
Príklad 11
Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami,
Riešenie: Tešíme sa na dve paraboly s vrtochom, ktoré ležia na bokoch. Netreba sa usmievať, podobné veci sa vo viacerých integráloch vyskytujú pomerne často.
Aký je najjednoduchší spôsob, ako urobiť kresbu?
Predstavme si parabolu v podobe dvoch funkcií:
– horná vetva a – dolná vetva.
Podobne si predstavte parabolu v podobe hornej a dolnej vetvy.
Plochu obrázku vypočítame pomocou dvojitého integrálu podľa vzorca:
Čo sa stane, ak zvolíme prvý spôsob prechodu územia? Po prvé, táto oblasť bude musieť byť rozdelená na dve časti. A po druhé, budeme pozorovať tento smutný obraz: . Integrály, samozrejme, nie sú na superkomplikovanej úrovni, ale... hovorí staré matematické príslovie: kto má blízko k svojim koreňom, nepotrebuje test.
Preto z nedorozumenia uvedeného v podmienke vyjadrujeme inverzné funkcie:
Inverzné funkcie v tomto príklade majú tú výhodu, že špecifikujú celú parabolu naraz bez akýchkoľvek listov, žaluďov, konárov a koreňov.
Podľa druhej metódy bude prechod oblasti takýto:
Takto:
Ako sa hovorí, cítiť rozdiel.
1) Zaoberáme sa vnútorným integrálom:
Výsledok dosadíme do vonkajšieho integrálu:
Integrácia nad premennou „y“ by nemala byť mätúca, ak by tam bolo písmeno „zy“, bolo by skvelé nad ňou integrovať. Hoci kto čítal druhý odsek lekcie Ako vypočítať objem rotačného telesa, s integráciou podľa metódy „Y“ už nezažíva ani najmenšiu nepríjemnosť.
Venujte pozornosť aj prvému kroku: integrand je párny a interval integrácie je symetrický okolo nuly. Preto je možné segment rozdeliť na polovicu a výsledok môže byť dvojnásobný. Táto technika je podrobne komentovaná v lekcii. Efektívne metódy výpočtu určitého integrálu.
Čo dodať…. Všetky!
odpoveď:
Ak chcete otestovať svoju integračnú techniku, môžete skúsiť vypočítať . Odpoveď by mala byť úplne rovnaká.
Príklad 12
Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Zaujímavosťou je, že ak skúsite použiť prvý spôsob prechádzania plochy, figúrka už nebude musieť byť rozdelená na dve, ale na tri časti! A podľa toho dostaneme tri páry opakovaných integrálov. Niekedy sa to stane.
Majstrovská trieda sa skončila a je čas prejsť na úroveň veľmajstra - Ako vypočítať dvojitý integrál? Príklady riešení. V druhom článku sa pokúsim nebyť taký maniak =)
Prajem ti úspech!
Riešenia a odpovede:
Príklad 2:Riešenie:
Znázornime oblasť na výkrese:
Zvoľme nasledovné poradie prechodu oblasti:
Takto:
Prejdime k inverzným funkciám:
Takto:
odpoveď:
Príklad 4:Riešenie:
Prejdime k priamym funkciám:
Urobme výkres:
Zmeňme poradie prechádzania oblasťou:
odpoveď:
Poradie chôdze po okolí:
Takto:
1)
2)
odpoveď:
Poďme ďalej zvážiť aplikácie integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu výpočet plochy rovinného útvaru pomocou určitého integrálu. Napokon, nech ho nájdu všetci tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike. Nikdy nevieš. V reálnom živote budete musieť aproximovať dacha pomocou elementárnych funkcií a nájsť jej plochu pomocou určitého integrálu.
Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:
1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by si figuríny mali lekciu najskôr prečítať nie.
2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. S určitými integrálmi na stránke môžete nadviazať vrúcne priateľské vzťahy Určitý integrál. Príklady riešení. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa vytvorenie výkresu, takže relevantnou otázkou budú aj vaše znalosti a zručnosti v kreslení. Minimálne musíte byť schopní zostrojiť priamku, parabolu a hyperbolu.
Začnime so zakriveným lichobežníkom. Zakrivený lichobežník je plochý útvar ohraničený grafom nejakej funkcie r = f(X), os VÔL a linky X = a; X = b.
Plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu
Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekcii Určitý integrál. Príklady riešení povedali sme, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA. teda určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého útvaru. Zvážte určitý integrál
Integrand
definuje krivku v rovine (v prípade potreby ju možno nakresliť) a samotný určitý integrál sa numericky rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.
Príklad 1
, , , .
Toto je typický príkaz na zadanie. Najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť výkres vytvorený SPRÁVNY.
Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledovné poradie: najprv je lepšie zostrojiť všetky priame čiary (ak existujú) a len Potom– paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Techniku výstavby bod po bode nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj veľmi užitočný materiál pre našu lekciu - ako rýchlo postaviť parabolu.
V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme kresbu (všimnite si, že rovnica r= 0 určuje os VÔL):
Zakrivený lichobežník nezatienime, tu je zrejmé, o akú oblasť ide. Riešenie pokračuje takto:
Na segmente [-2; 1] funkčný graf r = X 2 + 2 sa nachádza nad osouVÔL, Preto:
odpoveď: .
Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newton-Leibnizovho vzorca
,
odkazovať na prednášku Určitý integrál. Príklady riešení. Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade počítame počet buniek na výkrese „okom“ - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.
Príklad 2
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami xy = 4, X = 2, X= 4 a os VÔL.
Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod nápravouVÔL?
Príklad 3
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami r = e-x, X= 1 a súradnicové osi.
Riešenie: Urobme kresbu:
Ak zakrivený lichobežník úplne umiestnené pod osou VÔL , potom jeho oblasť možno nájsť pomocou vzorca:
V tomto prípade:
.
Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:
1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.
2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.
V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.
Príklad 4
Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami r = 2X – X 2 , r = -X.
Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly r = 2X – X 2 a rovno r = -X. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:
To znamená, že spodná hranica integrácie a= 0, horná hranica integrácie b= 3. Často je ziskovejšie a rýchlejšie konštruovať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:
Zopakujme, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie určujú „automaticky“.
A teraz pracovný vzorec:
Ak na segmente [ a; b] nejaká nepretržitá funkcia f(X) väčšie alebo rovné nejaká nepretržitá funkcia g(X), potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť pomocou vzorca:
Tu už nemusíte premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, ale záleží, ktorý graf je VYŠŠIE(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je DOLE.
V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto od 2. X – X 2 treba odpočítať – X.
Hotové riešenie môže vyzerať takto:
Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou r = 2X – X 2 hore a rovno r = -X nižšie.
V segmente 2 X – X 2 ≥ -X. Podľa zodpovedajúceho vzorca:
odpoveď: .
V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca
.
Pretože os VÔL daný rovnicou r= 0 a graf funkcie g(X) umiestnený pod osou VÔL, To
.
A teraz pár príkladov pre vlastné riešenie
Príklad 5
Príklad 6
Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami
Pri riešení problémov s výpočtom plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane vtipná príhoda. Kresba bola urobená správne, výpočty boli správne, ale kvôli neopatrnosti... Bola nájdená oblasť nesprávnej postavy.
Príklad 7
Najprv urobme kresbu:
Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však ľudia kvôli nepozornosti často rozhodnú, že musia nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!
Tento príklad je tiež užitočný, pretože vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:
1) Na segmente [-1; 1] nad osou VÔL graf je umiestnený rovno r = X+1;
2) Na segmente nad osou VÔL nachádza sa graf hyperboly r = (2/X).
Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:
odpoveď:
Príklad 8
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami
Uveďme rovnice v „školskej“ forme
a urobte bod po bode nákres:
Z nákresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“: b = 1.
Ale aká je spodná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo to je?
Možno, a= (-1/3)? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať a= (-1/4). Čo ak sme graf zostavili nesprávne?
V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky si ujasniť hranice integrácie.
Poďme nájsť priesečníky grafov
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:
.
teda a=(-1/3).
Ďalšie riešenie je triviálne. Hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znakoch. Výpočty tu nie sú najjednoduchšie. Na segmente
, 
,
podľa príslušného vzorca:
odpoveď: 
Na záver lekcie sa pozrime na dve náročnejšie úlohy.
Príklad 9
Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami
Riešenie: Znázornime tento obrázok na výkrese.
Na zostavenie bodového výkresu potrebujete poznať vzhľad sínusoidy. Vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií, ako aj niektoré sínusové hodnoty. Nájdete ich v tabuľke hodnôt goniometrické funkcie. V niektorých prípadoch (napríklad v tomto prípade) je možné zostaviť schematický výkres, na ktorom by mali byť grafy a limity integrácie zásadne správne zobrazené.
Tu nie sú žiadne problémy s limitmi integrácie, vyplývajú priamo z podmienky:
– „x“ sa zmení z nuly na „pi“. Urobme ďalšie rozhodnutie:
Na segmente, grafe funkcie r= hriech 3 X umiestnený nad osou VÔL, Preto:
(1) V lekcii môžete vidieť, ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín Integrály goniometrických funkcií. Odštípneme jeden sínus.
(2) Vo formulári používame hlavnú goniometrickú identitu
(3) Zmeňme premennú t=cos X, potom: sa nachádza nad osou, preto:
.
.
Poznámka: všimnite si, ako sa berie integrál tangensovej kocky; tu je použitý dôsledok základnej goniometrickej identity
.
Aplikácia integrálu na riešenie aplikovaných úloh
Výpočet plochy
Určitý integrál spojitej nezápornej funkcie f(x) sa numericky rovná oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného krivkou y = f(x), osou O x a priamkami x = a a x = b. V súlade s tým je vzorec oblasti napísaný takto:
Pozrime sa na niekoľko príkladov výpočtu plôch rovinných útvarov.
Úloha č.1. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Riešenie. Zostrojme obrazec, ktorého plochu budeme musieť vypočítať.
y = x 2 + 1 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor a parabola je oproti osi O y posunutá nahor o jednu jednotku (obrázok 1).
Obrázok 1. Graf funkcie y = x 2 + 1
Úloha č.2. Vypočítajte plochu ohraničenú priamkami y = x 2 – 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.
 |
Riešenie. Graf tejto funkcie je parabola vetiev, ktoré sú nasmerované nahor a parabola je posunutá vzhľadom na os O y nadol o jednu jednotku (obrázok 2).
Obrázok 2. Graf funkcie y = x 2 – 1
Úloha č. 3. Nakreslite a vypočítajte plochu figúry ohraničenú čiarami
y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4.
Riešenie. Prvá z týchto dvoch čiar je parabola s vetvami smerujúcimi nadol, pretože koeficient x 2 je záporný, a druhá čiara je priamka pretínajúca obe súradnicové osi.
Na zostrojenie paraboly nájdeme súradnice jej vrcholu: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – úsečka vrcholu; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho ordináta, N(1;9) je vrchol.
Teraz nájdime priesečníky paraboly a priamky riešením sústavy rovníc:
Vyrovnanie pravých strán rovnice, ktorej ľavé strany sú rovnaké.
Dostaneme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 alebo x 2 – 12 = 0, odkiaľ 
.
Body sú teda priesečníky paraboly a priamky (obrázok 1).
Obrázok 3 Grafy funkcií y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4
Zostrojme priamku y = 2x – 4. Prechádza bodmi (0;-4), (2;0) na súradnicových osiach.
Na zostrojenie paraboly môžete použiť aj jej priesečníky s osou 0x, teda korene rovnice 8 + 2x – x 2 = 0 alebo x 2 – 2x – 8 = 0. Pomocou Vietovej vety je jednoduché nájsť jeho korene: x 1 = 2, x 2 = 4.
Obrázok 3 zobrazuje obrazec (parabolický segment M1N M2) ohraničený týmito čiarami.
Druhou časťou problému je nájsť oblasť tohto obrázku. Jeho obsah možno nájsť pomocou určitého integrálu podľa vzorca 
.
Vo vzťahu k tejto podmienke dostaneme integrál: 
2 Výpočet objemu rotačného telesa
Objem telesa získaný z rotácie krivky y = f(x) okolo osi O x sa vypočíta podľa vzorca:
Pri otáčaní okolo osi Oy vzorec vyzerá takto:
Úloha č.4. Určte objem telesa získaného rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného priamkami x = 0 x = 3 a krivkou y = okolo osi O x.
Riešenie. Nakreslíme obrázok (obrázok 4).
Obrázok 4. Graf funkcie y =
Požadovaný objem je 
Úloha č.5. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou zakriveného lichobežníka ohraničeného krivkou y = x 2 a priamkami y = 0 a y = 4 okolo osi O y.
Riešenie. Máme:
Kontrolné otázky
Uvažujme zakrivený lichobežník ohraničený osou Ox, krivkou y=f(x) a dvoma priamkami: x=a a x=b (obr. 85). Zoberme si ľubovoľnú hodnotu x (len nie a a nie b). Dajme tomu prírastok h = dx a uvažujme pás ohraničený priamkami AB a CD, osou Ox a oblúkom BD patriacim do uvažovanej krivky. Tento prúžok budeme nazývať elementárny prúžok. Plocha elementárneho pásu sa líši od plochy obdĺžnika ACQB krivočiarym trojuholníkom BQD a jeho plocha je menšia ako plocha obdĺžnika BQDM so stranami BQ = =h= dx) QD=Ay a plocha rovná hAy = Ay dx. Keď strana h klesá, strana Du tiež klesá a súčasne s h má tendenciu k nule. Preto je oblasť BQDM druhého rádu nekonečne malá. Plocha elementárneho pásika je prírastok plochy a plocha obdĺžnika ACQB, ktorá sa rovná AB-AC ==/(x) dx> je rozdiel plochy. V dôsledku toho nájdeme samotnú oblasť integrovaním jej diferenciálu. V rámci uvažovaného obrázku sa nezávislá premenná l: mení z a na b, takže požadovaná plocha 5 sa bude rovnať 5= \f(x) dx. (I) Príklad 1. Vypočítajme plochu ohraničenú parabolou y - 1 -x*, priamkami X =--Fj-, x = 1 a osou O* (obr. 86). na obr. 87. Obr. 86. 1 Tu f(x) = 1 - l?, hranice integrácie sú a = - a £ = 1, teda J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Príklad 2. Vypočítajme plochu ohraničenú sínusoidou y = sinXy, osou Ox a priamkou (obr. 87). Aplikovaním vzorca (I) dostaneme A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Príklad 3. Vypočítajte plochu ohraničenú oblúkom sínusoidy ^у = sin jc, uzavretý medzi dvoma susednými priesečníkmi s osou Ox (napríklad medzi počiatkom a bodom s osou i). Všimnite si, že z geometrických úvah je jasné, že táto plocha bude dvojnásobkom plochy predchádzajúceho príkladu. Urobme však výpočty: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Náš predpoklad sa skutočne ukázal ako správny. Príklad 4. Vypočítajte plochu ohraničenú sínusoidou a osou Ox v jednej perióde (obr. 88). Predbežné výpočty naznačujú, že plocha bude štyrikrát väčšia ako v príklade 2. Po vykonaní výpočtov však dostaneme „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Tento výsledok si vyžaduje objasnenie. Na objasnenie podstaty veci vypočítame aj plochu ohraničenú rovnakou sínusoidou y = sin l: a osou Ox v rozsahu od l do 2i. Použitím vzorca (I) dostaneme 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Vidíme teda, že táto oblasť dopadla negatívne. Pri porovnaní s plochou vypočítanou v cvičení 3 zistíme, že ich absolútne hodnoty sú rovnaké, ale znamienka sú odlišné. Ak použijeme vlastnosť V (pozri kapitolu XI, § 4), dostaneme 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0To, čo sa stalo v tomto príklade, nie je náhoda. Vždy plocha nachádzajúca sa pod osou Ox, za predpokladu, že sa nezávislá premenná mení zľava doprava, sa získa pri výpočte pomocou integrálov. V tomto kurze budeme vždy brať do úvahy oblasti bez značiek. Preto odpoveď v práve diskutovanom príklade bude znieť: požadovaná plocha je 2 + |-2| = 4. Príklad 5. Vypočítajme plochu BAB znázornenú na obr. 89. Táto oblasť je ohraničená osou Ox, parabolou y = - xr a priamkou y - = -x+\. Plocha krivočiareho lichobežníka Požadovaná plocha OAB pozostáva z dvoch častí: OAM a MAV. Keďže bod A je priesečníkom paraboly a priamky, jeho súradnice zistíme riešením sústavy rovníc 3 2 Y = mx. (potrebujeme nájsť iba úsečku bodu A). Pri riešení systému nájdeme l; = ~. Preto sa plocha musí vypočítať po častiach, prvý štvorec. OAM a potom pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = 
[náhrada:
] = 
To znamená, že nevlastný integrál konverguje a jeho hodnota sa rovná .
